VMO 2013 - Đề thi học sinh giỏi toán quốc gia năm 2013

Các bạn xem Đề thi học sinh giỏi toán quốc gia năm 2013 - VMO 2013 (LaTex)
Dưới đây là đề thi HSG môn Toán quốc gia 2013:


Ngày thi thứ nhất: 11/01/2013
Bài 1 (5,0 điểm):
Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{\sin^2x+\frac{1}{\sin^2x}}+\sqrt{\cos^2y+\frac{1}{\cos ^2y}}=\sqrt{\frac{20y}{x+y}} \textbf{ (1)}\\ \sqrt{\sin^2y+\frac{1}{\sin^2y}}+\sqrt{\cos^2x+\frac{1}{\cos ^2x}}=\sqrt{\frac{20x}{x+y}} \textbf{ (2)} \end{matrix}\right.$$

Bài 2 (5,0 điểm):
Cho dãy số xác định như sau:
$$\left \{ \begin{matrix} a_1&=&1 &\\a_{n+1}&=&3-\frac{a_n+2}{2^{a_n}}&, \forall \geq 1 \end{matrix}\right. $$
Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài 3 (5,0 điểm):

Cho tam giác không cân $ABC$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,E,F$ là các tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $E$, đường thẳng qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$.
a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng
b) Giả sử $B,C$ cố định, $A$ thay đổi sao cho tỷ số $\frac{AB}{AC}=k$ không đổi. Gọi $M,N$ tương ứng là các giao điểm $IE, IF$ với $(I)$ ($M$ khác $E$, $N$ khác $F$). $MN$ cắt $IB, IC$ tại $P,Q$. Chứng minh đường trung trực $PQ$ luôn qua 1 điểm cố định

Bài 4 (5,0 điểm): Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau $2013$ bước, số $2013$ xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:

   a) Các số cho trước là: $1$ và $1000$?
   b) Các số cho trước là: $1,2,...,1000$ và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải

Ngày thi thứ hai: 12/01/2013

Bài 5: (7,0 điểm)
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013$ và
$$\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right)$$ đúng với mọi $x,y\in \mathbb{R}$, trong đó ${{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}$

Bài 6: (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứ điểm $A$. Đường thẳng $\vartriangle $ thay đổi đi qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác $ABH, ACH$ tại $M,N$ ($M,N$ khác $H$)
a)Xác định vị trí của đường thẳng $\vartriangle $ để diện tích tam giác $AMN$ lớn nhất
b)Kí hiệu $d_1$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc $DB, d_2$ là đường thẳng qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của $d_1$ và $d_2$ luôn thuộc 1 đường tròn cố định

Bài 7: (6,0 điểm)
Tìm tất cả bộ sắp thứ tự $\left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right)$ thỏa

$$\left \{ \begin{array}{l} ab + a'b' \equiv 1\textbf{(mod 15) (1)}\\ ac + a'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (2)}\\ bc + b'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (3)} \end{array} \right.$$
Với $a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1...14 \right\}$.
Lưu ý: Một số tài liệu, file đuôi .zip hoặc .rar mật khẩu mở file nếu có là: vietmaths.com

Bài viết liên quan

Ôn thi học sinh giỏi 326794987889843910

Đăng nhận xét

emo-but-icon

Tìm kiếm

Đăng ký nhận bài

Nhập email của bạn vào ô bên dưới để đăng ký nhận tài liệu mới từ VIETMATHS.COM

Đăng ký xong, hãy mở email để xác nhận. Xem hướng dẫn đăng ký tại đây

Chú ý phải làm theo hướng dẫn để nhận được tài liệu hay và nhanh nhất!!!


Tham gia cùng chúng tôi



Connect Us

item